Conjuntos | Teoria dos Conjuntos

 

DEFINIÇÃO

De forma direta, primitiva, admite-se que conjunto seja uma coleção de elementos.

Estrutura de Conjunto

A = { a, e, i, o, u }

• Conjunto - Sempre representado por uma letra maiúscula;

• Elementos - Sempre entre chaves e separados por vírgula.

REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTO

• Enumerado - Quando pode-se listados os elementos, ou seja, pode enumerar um por um:

Ex.: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

• Característica - Quando simplesmente pode descrever a característica dos elementos:

Ex.: A = {x | x = 2n, 1 ≤ n ≤ 6 }

• Diagrama de Venn - Quando pode-se representar graficamente o conjunto, ou seja, é a forma gráfica do conjunto:

RELAÇÕES

• Pertinência - É a relação entre elemento e conjunto, mostrando se um elemento está dentro ou não de um conjunto. Ou seja, se o elemento pertence (∈) ou não pertence (∉) a um conjunto.

Ex1.: 2 pertente ao conjunto dos números naturais.

Ex2.: 2 pertente ao conjunto dos números naturais.

• Inclusão/Continência - É a relação entre conjuntos, mostrando se um conjunto está dentro de outro conjunto. Em outras palavras, se um conjunto é "subconjunto" de outro conjunto.

              Para expressa a relação de inclusão, utiliza-se os seguintes símbolos:

SUBCONJUNTOS 

Um conjunto é dito subconjunto de outro quando todos os seus elementos fazem parte desse outro conjunto.

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

• UNIÃO (U) - Dados dois ou mais conjuntos, a união entre estes conjuntos é a reunião de todos os elementos que ambos possuem em apenas um conjunto. Ou seja, dados os conjuntos A e B, a união entre A e B será o conjunto que reúne todos os elementos do conjunto A juto com todos s elementos do conjunto B, podendo ser representado da seguinte forma: 

A U B = { x | x ∈ A ou x ∈ B}

Ex.: Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} e o conjunto B = {0, 3, 6, 9, 12, 15}, determine a união entre estes conjuntos.

Resposta: A U B = { 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15}

Podemos representar em forma de diagrama: 

• INTERSEÇÃO (∩) - Dados dois ou mais conjuntos, a interseção entre eles será o conjunto formado por elementos que se repetem em ambos conjuntos. Ou seja, dados os conjuntos A e B, a interseção entre A e B será o conjunto que possui os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quando ao conjunto B, pode-se representar da seguinte forma:

  A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B}

Ex.: Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} e o conjunto B = {0, 3, 6, 9, 12, 15}, determine a interseção entre estes conjuntos.

Resposta: A ∩ B = {0, 6, 12} 

Podemos representar em forma de diagrama: 

• DIFERENÇA (-) - Elementos que pertencem a um conjunto e não a outro.

A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B}

Ex.: Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} e o conjunto B = {0, 3, 6, 9, 12, 15}, determine a diferença entre estes conjuntos.

Resposta: A - B = {2, 4, 8, 10}

Podemos representar em forma de diagrama:

E se for B - A? Teremos o conjunto B - A = {3, 9, 15}. E em forma de diagrama, podemos ver:

TIPO DE CONJUNTOS

• Conjunto FINITO - É o conjunto que possui uma quantidade limitada de elementos.

Ex.: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}

• Conjunto INFINITO - É o conjunto que possui uma infinidade de elementos.

Ex.: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ...}

• Conjunto VAZIO - É quando não há elementos no conjunto. E sua representação é dada por { } ou ∅.

Ex.: D = { } ou D = ∅

• Conjunto UNIVERSO - É o conjunto que representa todos os  elementos que estão a ser considerados em determinada situação trabalhada. E representa também todos os conjuntos relacionados. 

Ex.: Dos números inteiros maiores que 10, quais são pares? 

• Conjunto UNITÁRIO - É o conjunto que possui apenas um único elemento.

Ex.: E = { 2 }, F = {-13}, G = { 0 }.

• Conjuntos DISJUNTOS - São ditos conjuntos disjuntos aqueles conjuntos que não possuem elementos em comum. Ou seja, se a interseção entre conjuntos for vazia, esses conjuntos são disjuntos.

Ex.: Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9}, repare que não há elementos que pertence a ambos conjuntos A e B, logo, podemos dizer que a interseção entre estes conjuntos é vazia, A ∩ B = ∅. Com isso A e B são conjuntos disjuntos. Podemos representar em forma de diagrama da seguinte forma:

ou

• Igualdade entre Conjuntos - dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Ex1.: Dados os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} e B = {x | x é maior que 1 e menor que 10}, note que A = B.

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Para facilitar, a seguir está o link de download da atividade de fixação deste conteúdo.(Atividade de Fixação)

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Slides da aula do dia 25 de junho de 2024 (UNIBE): Slides de Questões de Conjuntos