Equação do Primeiro grau | Sistema de Equações do Primeiro Grau com Duas Variáveis

Equação de Primeiro Grau

Uma equação de primeiro grau é uma sentença matemática que envolve a relação de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos. Uma equação do \(1^o\) grau pode ser escrita na forma:

\[ \Large ax + b = 0 \]

Onde:

• \(a\) e \(b\) são coeficientes números pertecente aos Números Reais \((\mathbb{R})\);
• \(x\) é o termo a determonadar que chama-se "Incógnita".

\[ \underset{1^o ~\text{membro}}{\underbrace{\Large ax + b}} = \underset{2^o ~\text{membro}}{\underbrace{\Large 0}} \]

O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da igualdade, e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade. Quando passar um elemento de um membro (lado) para o outro, esse elemento irá com a operação oposta a sua.

Para resolver uma equação de primeiro grau, seguimos os seguintes passos:

1. Isolar a incógnita \(x\) em um dos lados da equação.
2. Simplificar a equação para encontrar o valor de \(x\).

EXEMPLO 1. Considere a equação:

\[ 2x + 8 = 0 \]

Primeiro, passamos o 8 para o outro lado com a operação oposta:

\[ 2x = 0 - 8 \]

Isso simplifica para:

\[ 2x = -8 \]

Em seguida, passamos o 2 que está multiplicando com x para o outro lado também, porém ele vai com a operação oposta, ou seja, ele vai divindo:

\[ x = \frac{-8}{2} \]

Portanto, a solução é:

\[ \therefore x = -4 \]

EXEMPLO 2. Considere a equação:

\[ 2x + 3 = 7 \]

Primeiro, subtraímos 3 de ambos os lados da equação:

\[ 2x + 3 - 3 = 7 - 3 \]

Isso simplifica para:

\[ 2x = 4 \]

Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para resolver para \(x\):

\[ x = \frac{4}{2} \]

Portanto, a solução é:

\[ \therefore x = 2 \]

EXEMPLO 3. Considere a equação:

\[ 5(x+1) + 2 (x-1) = 17 \]

Primeiro, precisamos eliminar os parenteses. Note que os números a frente do parenteses estão multiplicando. Assim, basta fazer a distributividade, ou mais conhecido como "chuveirinho" para eliminar os parenteses.

\[ 5 \cdot (x+1) = 5 \cdot x + 5 \cdot 1 = 5x+5 \]

E

\[ 2 \cdot (x-1) = 2 \cdot x + 2 \cdot (-1) = 2x-2 \]

Dessa forma, temos que

\[ 5(x+1) + 2 (x-1) = 17 \]

\[ 5x + 5 + 2x - 2 = 17 \]

\[ 5x + 2x = 17 - 5 + 2 \]

\[ 7x = 14 \]

\[ x = \dfrac{14}{7} \]

\[ \therefore x = 2 \]

EXEMPLO 4. Considere a equação:

\[ \dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}=4 \]

Primeiramente, temos que eliminar os denominadores, uma forma de fazer é multiplicando em ambos os lados com o MMC dos denominadores. Neste casso, temos que o MMC(2,3)=6. Assim, multipliquemos 6 em ambos os lados.

\[ \dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3} = 4 \hspace{1cm} \times 6 \]

\[ 6 \cdot \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}\right) = 6 \cdot 4 \]

\[ \dfrac{6 \cdot x}{2}-\dfrac{6 \cdot x}{3} = 6 \cdot 4 \]

\[ \dfrac{6}{2}x -\dfrac{6}{3}x = 6 \cdot 4 \]

Observe que como o 6 está multiplicando com x, ele pode dividir com o denominador de x. Com isso, entenda que o objetivo de multiplicar o MMC dos denominadores na expressão é para eliminar os próprios denominadores. Assim, ao dividir \(\dfrac{6}{2}x\) e \(\dfrac{6}{3}x\) resulta respectivamente em \(3x\) e \(2x\). Com isso, nossa sentença fica

\[ 3x - 2x = 24 \]

\[ \therefore x = 24 \]

OBS.: Use o MMC para eliminar os denominadores em uma equação quando tiver dois ou mais denominadores na expressão.

EXEMPLO 5. Considere a equação:

\[ \dfrac{x}{2}+8=13 \]

Primeiramente, obeserve que você só tem um denominador, como só temos um denominador, então basta multiplicar em ambos os lados pelo próprio denominador. Nesse caso, nosso denominador é \(2\), então basta multiplicar em ambos os lados por \(2\).

\[ \dfrac{x}{2}+8=13 \hspace{1cm} \times 2 \]

\[ 2 \cdot \left( \dfrac{x}{2}+8 \right) = 2 \cdot 13 \]

\[ \dfrac{2 \cdot x}{2}+ 2 \cdot 8 = 2 \cdot 13 \]

\[ \dfrac{2}{2} x + 2 \cdot 8 = 2 \cdot 13 \]

\[ x + 16 = 26 \]

\[ x = 26 - 16 \]

\[ \therefore x = 10 \]

Sistema de Equações de Primeiro Grau

Um sistema de equações de primeiro grau consiste em duas ou mais equações lineares com duas ou mais incógnitas. No caso de de sistema de equações de primeiro grau com duas incógnitas, teremos o seguinte formato:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

Aqui está um exemplo de um sistema de equações com duas variáveis:

\[ \begin{cases} x + y = 12 \\ 3x - y = 20 \end{cases} \]

Para resolver este sistema, podemos usar métodos como Substituição, Eliminação (Adição), Comparação, Coeficientes ou matrizes. Vamos usar o método de substituição para encontrar as soluções:

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO -- Consiste em isolar uma das incógnitas de umas das equações e SUSTITUIR na outra equação.

1. Isolamos uma das variáveis em uma das equações. Por exemplo, da primeira equação, isolamos \( y \): \[ y = 12 - x \]
2. Substituímos \( y \) na segunda equação: \[ 3x - (12 - x) = 20 \] Simplificando, obtemos: \[ 3x -12 + x = 20 \] \[ 3x + x = 20 + 12 \] \[ 4x = 32 \] \[ x = \dfrac{32}{4} \] \[ x = 8 \]
3. Agora substituímos \( x \) de volta na expressão que isolamos \( y \): \[ y = 12 - x \] \[ y = 12 - 8 \] \[ y = 4 \]

Portanto, a solução do sistema de equações é: \[ \left( x, y \right) = \left( 8, 4 \right) \]

MÉTODO DA ADIÇÃO ( MÉTODO DA ELIMINAÇÃO ) --

MÉTODO DA COMPARAÇÃO --

MÉTODO DOS COEFICIENTES --

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Para facilitar, a seguir está o link de download da atividade de fixação deste conteúdo. (Atividade de Fixação)